Il lancio di una moneta è ampiamente utilizzato come strumento per aiutare la selezione casuale tra due scelte. Ciò che rende una moneta perfetta per questo lavoro è il fatto che ha due lati: Testa (T) e Croce (C). L’atto di lanciare una moneta è effettivamente un esperimento casuale. Ci sono realisticamente solo due possibili risultati (probabilità binomiale), o testa o croce. La probabilità di produrre testa o croce come risultato dell’esperimento casuale del lancio è del 50% … se la moneta è ben bilanciata e non truccata!
Supponiamo di lanciare una moneta una volta. Qual’è il risultato totale (spazio campione, S)?
S={T,C}
E se lanciassimo la moneta due volte?
S={CT, CC, TT, TC}
Supponiamo di lanciare la moneta 12 volte e registrare ogni volta il risultato:
C, T, T, C, C, C, T, C, T, T, C, T
E se lo facessimo per 100 volte?
C, T, T, C, C, C, T, C, T, T, C, T, T, T, T, C, … (fino al 100° risultato).
Tenete presente che ognuno dei risultati di S (per un lancio di moneta) ha la stessa probabilità (50%) di verificarsi. Lasciamo che le volte che un esperimento casuale viene ripetuto siano N, che è composto da N passi discreti.
Supponiamo di voler fare un gioco che comporta quanto segue:
Se il risultato del lancio della moneta è testa, segniamo +1, altrimenti, se è croce, daremo valore -1.
Per giocare e sapere effettivamente il risultato finale dobbiamo definire la posizione iniziale.
Nel nostro caso diremo che iniziamo da zero. Con questo, abbiamo specificato l’origine, e poiché il vostro movimento è o verso l’alto o verso il basso, che è unidimensionale, possiamo usare l’asse y per determinare la vostra posizione finale. Notate che stiamo collegando il risultato di un lancio di moneta alla decisione di muoversi verso l’alto o verso il basso.
Quindi per riepilogare:
Testa = +1
Croce = -1
Ripeteremo questo esperimento N volte, ottenendo N passi nel gioco. Inoltre, denoteremo la posizione finale come D:
D = x1+x2+x3+…+xN
Naturalmente dobbiamo porci la domanda: qual è il valore atteso della posizione finale D?
Per rispondere dobbiamo considerare il valore atteso di ogni esperimento x. Dato che stiamo usando una moneta non truccata, i due risultati, C o T (tradotto nel nostro gioco come alto o basso), hanno una probabilità del 50% (0,5) di accadere. Questo significa che il valore atteso di un esperimento sarebbe:
E(x)= [-1*0.5] + [1*0.5] = 0
Questo significa che per ogni x, da x1 fino a xN, il valore atteso è 0. Quindi possiamo dedurre che E(D)= 0, poiché E(D) è la somma di ogni singolo valore atteso di ogni passo da x1 fino a xN.
Quindi la tua posizione attesa dopo aver giocato questo gioco sarebbe proprio dove hai iniziato – a zero. Quindi in media sei rimasto nello stesso posto. Questo fenomeno di muoversi a caso è chiamato passeggiata casuale.
Lancio della moneta, passeggiata casuale semplice e prezzi delle azioni
In pratica, per il gioco di cui sopra, abbiamo usato il lancio di una moneta per modellare il movimento casuale. Il punto importante da realizzare è che stavamo usando una moneta equa, con solo due possibili risultati con uguali probabilità di p=0,5 per C e T e di conseguenza alto (+1) o basso (-1). Questo significa che il valore atteso di D, la vostra posizione finale, sarebbe 0.
Tuttavia, vorremmo finire in un posto diverso dal nostro punto di partenza. Per farlo, possiamo definire una probabilità fissa p per Testa (alto (+1)) che successivamente lascia la probabilità 1-p per Croce (basso (-1)). Questa distorsione della probabilità è chiamata deriva. Se p>0,5 allora favorisce la salita, se p<0,5 favorisce la discesa. Usiamo la stessa matematica per calcolare il valore atteso della posizione finale che tende o più in alto o più in basso a seconda delle condizioni di cui sopra. Questo modello può essere usato per prevedere i movimenti dei prezzi delle azioni. Il presupposto qui, naturalmente, è che il movimento del prezzo delle azioni sia casuale.
Ora useremo il modello di cui sopra e lo renderemo ancora più realistico. Modelleremo il movimento di un prezzo delle azioni da un punto di partenza che non è 0 (l’origine). Inoltre registreremo le iterazioni a passi di tempo da 0 a N.
Sviluppiamo ulteriormente questo modello. Invece di fissare noi stessi la probabilità p, lasciamo che p sia un numero casuale uniformemente distribuito tra 0 e 1 – per cui p è ripetutamente e casualmente selezionato per ogni passo fino a N;
se p>0,5 lo assegniamo come testa (T)
altrimenti, se p<0,5 lo assegniamo come croce (C)
Nelle idee precedenti di passeggiate casuali, abbiamo considerato il movimento 1-D che era aritmetico. Nello sviluppo del nostro nuovo modello, aggiungiamo un fattore di proporzionalità, per cui il valore del prezzo attuale delle azioni è proporzionale a quello precedente e a quello futuro. Il modo in cui il prezzo di un’azione cambia, tuttavia, è diverso – a causa del fatto che p è un numero casuale uniformemente distribuito ad ogni passo.
Modificheremo quindi il modello da un cammino casuale aritmetico a un cammino casuale geometrico utilizzando queste condizioni che seguono l’assegnazione di C o T:
se T, moltiplica il prezzo corrente delle azioni per 1,01
altrimenti, se C, moltiplica il prezzo corrente delle azioni per 0,99
Ripetiamo questi passi N volte: selezione casuale di p, assegnazione di C o T in base a p, e poi moltiplicazione dei fattori in base a C o T.
Ora applichiamo il modello. Il prezzo di partenza delle azioni (posizione iniziale) al passo temporale 0 è di 158 dollari per azione, simuliamo 100 giorni …
Otteniamo:
È interessante notare che il risultato simulato è simile a ciò che osserviamo normalmente.
Conclusione
Il modello è molto semplice. Tuttavia, è un punto di partenza per iniziare a modellare i movimenti di prezzo di molti strumenti finanziari. Il concetto di passeggiate casuali che porta al moto browniano sono esempi di idee dalla matematica e dalla fisica usate per modellare la finanza quantitativa.
